УСТОЙЧИВОСТЬ в ТАУ

Система называется устойчивой, если:

1) после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;

2) после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновестное состояние.

Определим условия устойчивости.

Выходная и входная величины в системе связаны с помощью дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения при заданном значении входной величины представляет собой закон изменения выходной величины во времени. Но это решение состоит из двух составляющих:

где x_в(t)- вынужденная составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью;

x_св(t)- свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса.

Именно свободная составляющая и определяет переходной процесс в системе. Определяется она общим решением однородного дифференциального уравнения

в виде суммы составляющих

где A_i- постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями;

P_i- корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение составляется на основании исходного дифференциального уравнения:

В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

где может быть положительной или отрицательной величиной.

При этом, если , эта составляющая будет затухать. Наоборот, при получатся расходящиеся колебания.

Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.

Изображая корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, как показано на рис.3.1, условие устойчивости можно сформулировать еще так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости.

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:

1) нулевым корнем p₁=0;

2) парой чисто мнимых корней

3) бесконечно удаленным корнем

Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.

3.2. Критерий устойчивости Гурвица

По этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции):

Пологая a_n>0(если a_nотрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентов A(p)определитель Гурвица:

В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во втором - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. ( всего строк - n).

Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка).

Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора систем третьего и четвертого порядка.

Для систем третьего порядка (n=3):

(3.1)

Для систем четвертого порядка (n=4):

A(p)= a₄p⁴+a₃p³+a₂p²+a₁p+a₀;

(3.2)

Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.

Рис.3.2

Пусть передаточная функция разомкунтой системы W_p(p) и цепи обратной связи W_oc(p) будут:

Последовательное соединение элементов с передаточными функциями W_p(p) и W_oc(p) даст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией W_р.ц.(p), которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи:

Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ:

Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет:

A_з(p)=A_p(p)A_oc(p)+B_p(p)B_oc(p).(3.3)

То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи.

В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.

Рис.3.3

Составим характеристический полином замкнутой САУ в соотвествии с (3.3):

A_з(p)=(T₁p+1)(T₂p+1)(T₃p+1)+k₁k₂k₃.(3.4)

Запишем характеристический полином в общем виде:

A_з(p)=a₃p³+a₂p²+a₁p+a₀;

где

a₃=T₁T₂T₃, a₂=T₁T₂+T₂T₃+T₃T₁,

a₁=T₁+T₂+T₃, a₀=k₁k₂k₃+1=k+1.

Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:

T₁T₂T₃>0, T₁T₂+T₂T₃+T₃T₁>0,

T₁+T₂+T₃>0, k>0

Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой.

Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на T₁T₂T₃:

Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени.

Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера:

(3.5)

Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени , а от их отношения.

Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду

легко определить, что k_гр=8. Для данной структуры найденное значение k_гр является минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина k_гр.

С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости.

При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).

В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:

a_n=0, a₀=0

Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня.

Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени T₁. Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:

k+1=0;

T₁=0.

Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости.

Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и T₁, при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.

Рис.3.4

Определить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.5, воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица.

Рис.3.5

Для установления устойчивости определим граничное значение коэффициента передачи и сравним его с имеющимся значением коэффициента.

Передаточная функция разомкнутой цепи

В соответствии с (3.3) характеристический полином замкнутой системы

A_з(p)=p(0,03p²+0,3p+1)+k(0,01p+1)=
=0,03p³+0,3p²+(1+0,01k)p+k=a₃p³+a₂p²+a₁p+a₀,

где a₃=0,03; a₂=0,3; a₁=1+0,01k; a₀=k.

Так как система имеет третий порядок, то она будет находится на границе устойчивости при равенстве нулю выражения (3.1):

a₁a₂-a₀a₃=0,3(1+0,01k_гр)-0,03k_гр=0

Отсюда находим k_гр=11,1

Коэффициент передачи разомкнутой цепи k=8,4 меньше, чем k_гр Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.

 К содержанию

3.3. Критерий устойчивости Михайлова

Основан также на рассмотрении характеристического полинома.

Подставим в этот полином вместо р мнимую переменную . Получим комплексную функцию

Изобразим А( ) в виде графика в комплексной плоскости, как показано на рис.3.6.

Рис.3.6

Этот график принято называть годографом Михайлова. Каждому значению соответствуют определенные значения Х( ) и Y( ) и определенная точка на плоскости. При =0 функция А( )=а₀, т.е. годограф начинается на действительной оси. При функция А( ) тоже неограниченно возрастает.

Сформулируем критерий Михайлова: система устойчива, если годограф А( ), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - порядок системы.

Представленный выше годограф (см. рис.3.6) соответствует устойчивой САУ четвертого порядка.

Годограф Михайлова можно строить по точкам, изменяя частоту от нуля до бесконечности с определенным шагом и вычисляя каждый раз значение А().

Можно поступить по другому: найти точки пересечения годографа с осями и соединить их плавной линией. Для этого, определив из уравнения Х()=0 значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа А() с мнимой осью, подставляют их в выражение Y(). В результате получают соответствующие координаты. Аналогично находят точки пресечения А() с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть Y().

Собственно, после того, как найдены значения , при которых годограф А() пересекает оси координат, то есть нули Х() и Y(), нет необходимости строить сам годограф.

Из формулировки критерия следует, что устойчивость имеет место, если нули Х() и Y() чередуются с ростом , начиная с =0, когда Y()=0, а Х()>0.

Выше отмечалось, что условием нахождения САУ на границе устойчивости является попадание корня характеристического уравнения на мнимую ось плоскости корней. Но если характеристическое уравнение А(р)=0 имеет корень , то удовлетворяется равенство

откуда получаем

Графически это означает попадание одной точки годографа Михайлова в начало координат.

Таким образом. условием нахождения САУ на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (при какой-то частоте . Физический смысл величины - частота колебаний системы на границе устойчивости).

Но для нахождения на границе устойчивости должен быть пропущен лишь один квадрант. Другими словами, очертание кривой Михайлова на границе устойчивости должно быть таким, чтобы малой деформацией ее в начале координат можно было удовлетворить критерию Михайлова. Так, график на рис.3.7, а соответствует нахождению САУ на границе устойчивости, а график на рис.3.7, б - неустойчивости.

Рис.3.7

В качестве примера определим граничное значение коэффициента передачи k_гр для рассмотренной выше САУ (см. рис.3.3).

Запишем функцию для построения годографа Михайлова, подставив в характеристический полином (3.4) вместо р мнимую переменную :

где

При нахождении САУ на колебательной границе устойчивости годограф Михайлова проходит через начало координат при частоте Поэтому при k=k_гр:

Из второго уравнения находим значение квадрата частоты, при котором годограф проходит через начало координат:

Подставив это значение в первое уравнение, получим

или окончательно

Получили, естественно, тот же результат, что и по критерию Гурвица.

Критерий Михайлова широко используется для построения областей устойчивости. Уравнения границы устойчивости в пространстве двух варьируемых параметров и , согласно этому критерию, имеют вид:

Исключив из этих уравнений параметр , можно получить уравнение границы устойчивости, связывающее входящие в выражения и варьируемые параметры и . Для определенности такой метод определения границы устойчивости будем называть “по критерию Михайлова”.

Собственно, так мы и поступили в только что рассмотренном примере.

С другой стороны, можно построить границы устойчивости по приведенной системе уравнений, используя как параметр, который изменяют от 0 до . Каждому значению при этом соответствует определенная точка границы устойчивости. Этот метод получения границы устойчивости принято называть методом D - разбиения.

Пусть характеристическое уравнение САУ в общем виде будет следующее:

где N(p),S(p),F(p)- полиномы от р.

После подстановки получим:

Исходное характеристическое уравнение распадается на два:

(3.6)

Решим эту систему уравнений:

(3.7)

Построенный по выражениям (3.7) график называется кривой D - разбиения плоскости (,). При движении по кривой D - разбиения в сторону возрастания штриховку наносят слева, если определитель положителен, и справа - если отрицателен.

В результате получают область. которая может претендовать на область устойчивости. В заключение произвольную точку этой области проверяют любым из критериев устойчивости.

Решить задачу примера 3.1 с использованием критерия Михайлова.

Подставим в выражение характеристического полинома вместо р комплексную переменную :

Для определения устойчивости не будем строить годограф Михайлова, а рассчитаем величину k_гр, т.е. поступим аналогично примеру 3.1.

Условие нахождения САУ на границе устойчивости:

Корень второго уравнения отбрасываем, т.к. для нахождения системы на границе устойчивости годограф Михайлова должен пройти через начало координат при .

Тогда из второго уравнения определяем

и подставляем в первое:

Получили тот же результат, что и в примере 3.1.

По критерию устойчивости Михайлова определить устойчивость САУ по заданному характеристическому полиному:

A(p)=3*10^-4p⁵+5*10^-3p⁴+0,1p³+0,5p²+0,9p+1

Годограф Михайлова построим примерно, определив координаты пересечения его с осями координат.

С учетом того, что годограф Михайлова строится при изменении от 0 до + , определим положительные корни уравнения X()=0: и неотрицательные корни уравнения Y()=0:

Координаты пересечения годографа Михайлова с осями координат (в порядке возрастания частоты):

1) Y=0; X=1;

2) X=0; Y=0,9*1,41-0,1*1,41³+0,0003*1,41⁵=0,99;

3) Y=0; X=1-0,5*3,2²+0,005*3,2⁴=3,6;

4) X=0; Y=0,9*9,9-0,1*9,9³+0,0003*9,9⁵=-59,59;

5) Y=0; X=1-0,5*18²+0,005*18⁴=364.

Примерный вид годографа Михайлова для полученных данных показан на рис.3.8. Исследуемая система устойчива.

Рис.3.8

Для САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.3, определить область устойчивости методом D- разбиения. Варьируемые параметры T₃ и k₃. Значения неварьируемых параметров:

T₁=0,1; T₂=1; k₁=2; k₂=5.

Характеристический полином замкнутой САУ:

A_з(p)=(T₁p+1)(T₂p+1)(T₃p+1)+k₁k₂k₃=T₁T₂T₃p³+
+(T₁T₂+T₂T₃+T₃T₁)p²+(T₁+T₂+T₃)p+k₁k₂k₃+1.

Представим последнее выражение в следующем виде:

A_з(p)=T₃N(p)+k₃S(p)+F(p).
A_з(p)=T₃[T₁T₂p³+(T₁+T₂)p²+p]+k₃(k₁k₂)+
+[T₁T₂p²+(T₁+T₂)p+1].

Сделаем подстановку :

Выделим вещественную и мнимую части. представив их в следующем виде:

Рассчитаем для последней системы уравнений определители и :

Найдем выражения для T₃ и k₃:

Подставляя численные значения, получим:

Результаты расчетов границы области устойчивости по последним выражениям сведены в таблицу. Еще две границы получаются в результате приравнивания нулю коэффициента характеристического полинома при p³ (T₃=0) и свободного члена характеристического полинома:

k₁k₂k₃+1=0,
k₃=-1.

Область устойчивости построена на рис.3.9.

Таблица

Рис.3.9

 К содержанию

3.4. Критерий устойчивости Найквиста

Предназначен для анализа устойчивости замкнутых систем.

Для случая, если разомкнутая цепь устойчива, условия устойчивости замкнутой САУ сводится к требованию, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой цепи не охватывала точку (- 1, j0).

Если АФЧХ разомкнутой цепи W_рц() проходит через точку (- 1, j0) , то можно записать

Но это возможно в том случае, если

то есть годограф Михайлова замкнутой САУ проходит через начало координат.

Таким образом, если АФЧХ разомкнутой цепи проходит через точку (- 1, j0), то замкнутая САУ будет находится на границе устойчивости.

На рис.3.10 приведены две АФЧХ. Кривая 1 соответствует устойчивой САУ, кривая 2 - нахождению САУ на границе устойчивости.

Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой САУ, то ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет, наконец, устойчивой. Аналогично этому происходит и обратное.

Для САУ, имеющих неустойчивую разомкнутую цепь, условия устойчивости рассматривать не будем.

Рис.3.10

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубыми.

Неохват АФЧХ точки (- 1, j0) имеет место, если при частоте, на которой A()=1, абсолютное значение фазы меньше .

Но значение А=1 соответствует G=20lgA=0.

Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение - .

На рис.3.11 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивости некоторой САУ.

Рис.3.11

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ, содержащих звенья с запаздыванием.

Пусть звено с запаздыванием с передаточной функцией (при единичном коэффициенте передачи) включено последовательно с системой без запаздывания с передаточной функцией W₀(p).

Результирующие передаточная и комплексная частотная функции разомкнутой цепи будут:

где

С учетом последнего

Видно, что звено с запаздыванием лишь вносит дополнительный сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняются условия устойчивости (характеристика "закручивается" по часовой стрелке). При некотором САУ станет неустойчивой.

По АФЧХ системы без запаздывания можно определить критическое (предельное) значение запаздывания , что поясняется построением на рис.3.12.

Рис.3.12

Определяется точка, для которой Частота, соответствующая этой точке - , а фаза - .

При введении запаздывания условие совпадения этой точки с точкой (- 1, j0) запишется

откуда

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. А это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. k>1), то замкнутая САУ становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т.д.).

Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать в двух формах:

а) используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи

(3.8)

б) используя амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой цепи

(3.9)

Аналитические расчеты существенно упрощаются в частном случае, когда в числителе W_р.ц.(p) присутствует только коэффициент передачи k, как, например, в структуре на рис.3.3. При этом комплексную частотную функцию можно записать

где и - соответственно действительная и мнимая части знаменателя .

Но в том случае, если , значит

Тогда условия нахождения САУ на границе устойчивости (3.8) преобразуются к виду

или (3.10)

Определим, воспользовавшись условием (3.10), значение k_гр для структуры на рис.3.3.

Из второго уравнения выразим (корень отбросим, т.к. по критерию Найквиста АФЧХ должна проходить через характерную точку при) и подставим в первое уравнение:

Такой же результат был получен ранее по критериям Гурвица и Михайлова.

Решить задачу примера 3.1 с использованием критерия Найквиста.

Рассчитаем k_гр, воспользовавшись условием (3.8).

Ответ тот же, что и в примерах 3.1 и 3.2.

 К содержанию

3.5. Понятие запаса устойчивости

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде , которые показаны на рис.3.13.

Рис.3.13

Запас устойчивости по фазе определяется величиной , на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению:

(3.11)

Для вычисления запаса устойчивости по амплитуде необходимо по любому из критериев устойчивости определить k_гр и воспользоваться далее формулой (3.11).

При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале определить частоту среза из уравнения и затем найти . Запас устойчивости по фазе будет равен

(3.12)

При наличии частотных характеристик запасы устойчивости отсчитываются прямо с графиков, например, как показано на рис. 3.13. Помими логарифмических характеристик, с этой же целью можно использовать и АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис.3.14.

Для определения запаса устойчивости по фазе нужно провести луч из начала координат через точку АФЧХ, для которой выполняется условие . Для нахождения этой точки графически следует из начала координат провести окружность радиусом R=1. Угол между этим лучем и отрицательной действительной полуосью и будет .

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки АФЧХ от границы устойчивости, т.е. от точки с координатами - 1, j0 ( - это частота, при которой фаза составляет значение минус ), выражение в логарифмических единицах. Следовательно,

Рис.3.14