Законы Кирхгофа и их использование. Расчеты

Для правильно формулировки законов Кирхгофа в электротехнику ввели термины узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют абсолютно любой двухполюсник, имеющейся в цепь, например, на рисунке ниже участок схемы, с сопротивление R1, есть ветвь, также как и R2, но только другая ветвь. Узлом стали называть точку соединения трех и более ветвей. Контур замкнутая электрическая цепь состоящая из ветвей. Термин замкнутая электрическая цепь, говорит о том, что начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно оказаться в исходном узле. Ветви и узлы, попадающие в этот цикл, принято считать принадлежащими данному контуру. При этом требуется четко понимать, что ветвь и узел могут относиться одновременно к нескольким контурам.

Первый закон Кирхгофа

В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источников и приемников энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или , между напряжением и сопротивлением на каком-то отдельном участке цепи описываются законом Ома. Но очень часто в схемах, токи, от какой-либо точки, идут по совершенно разным путям. Точки, где сходятся несколько различных проводников, напомню, называются узлами, а участки цепи, соединяющие два соседних узла, ветвями.

В замкнутой цепи не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызывает изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды следующие к какому-либо узлу в единицу времени, всегда равны зарядам, уходящим от этого узла за ту же единицу времени

Разветвлённая цепь. В узле А цепь делиться на четыре ветви, которые соединяются в узле В Обозначим токи в неразветвленной части цепи - I, а в ветвях соответственно I1, I2, I3, I4.

У этих токов в соответствии с правилом последовательного соединения резисторов, будет следующее соотношение

На основании этого сформулируем первый закон Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи, всегда равна сумме токов, уходящих из этого узла.

В соответствии с законом Ома если приложить к такой цепи напряжение, то падение напряжения на обоих сопротивлениях будет также разным.

При параллельном соединении резисторов, смотри рисунок, ток проходит по четырем направлениям, что снижает общее сопротивление цепи или увеличивает общую проводимость, которая определяется как сумма проводимостей ветвей.

Используя закон Ома, напишем:

Используя первый закон Кирхгофа:

Сократим обе части получившегося выражения на напряжение U получим следующее математическое выражение:

Что и требовалось доказать (Ч.Т.Д). Получили соотношение для любого числа параллельно соединенных резисторов.

В случае, если в произвольной цепи имеются два параллельно соединенных сопротивления R1 и R2, то можно написать выражение:

Из этой формулы легко вычислить общее сопротивление всей схемы.

Эта выведенная формула имеет большое практическое использование, как в электротехники, так и электроники. Советую вам, запомнить это выражение на всю жизнь.

В качестве практического примера, рассмотрим расчет более сложной цепи имеющей большое количество узлов

Второй закон Кирхгофа определения и формулы

В замкнутом контуре абсолютно любой электрической цепи сумма всех эдс источников питания равна сумме падения напряжения на всех сопротивлениях этого контура.

Здесь полная ЭДС Е₁ + Е₂, действующая внутри контура, равна сумме падений напряжения на резисторах R₁ и R₂

Если изменить полярность Е₂ на обратную, то она будет иметь то же направление , что и падения напряжения U_R1 и U_R2

Таким образом, если в электрической цепи имеются два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников

Если в электрическую цепь включено два источника эдс противоположных направлений, то общая эдс цепи равна разности эдс этих отдельных источников

При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением, общая эдс равна сумме эдс всех отдельных источников. Складывая эдс одного направления, считают их со знаком плюс, а эдс противоположного направления - со знаком минус.

Рассмотрим чуть более сложную схему, имеющую несколько контуров

Для контура ABEF можно записать выражение

для контура ACDF формулу можно записать так

Обходя контур BCDE, видим, что Е2 имеет направление (против часовой стрелки), что и UR3:

Как мы видим в цепи с одним контуром, второй з-н Кирхгофа является частным случаем закона Ома.

Законы Кирхгофа. Расчет цепи

За неизвестные в этом способе берутся потенциалы узлов φ _k. Если мы определим потенциалы всех узлов цепи, то затем сможем легко вычислить ток в любой ветви между узлами «k» и «n» из обобщенного закона Ома:

Пусть некоторая цепь состоит из N узлов. Один узел заземлим, разместив потенциал φ=0. Поэтому, неизвестными в этом способе остаются (N-1) величин φ_k. Значит, метод узловых потенциалов подводит лишь к (N-1) математическим уравнениям, т. е. к первому закону Кирхгофа.

Рассмотрим практическую работу этого способа на примере схемы, изображенной на рисунке ниже. Эта мостовая схема состоящая из четырех узлов и трех независимых контуров. Прямое использование выше рассмотренных привело бы к 3+3=6 уравнениям относительно неизвестных токов в ветвях цепи. Метод узловых потенциалов сводит это все всего к трем математическим уравнениям.

Заземлим, допустим, узел φ₀, положив φ₀ = 0, и вычислим потенциалы узлов φ₁, φ₂ и φ₃. Расставим произвольно стрелки токов i_k в ветвях (k= 1, 2, …,6) и запишем получившиеся уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:

Теперь выразим эти токи из формулы (1) с учетом правила знаков:

Подставив найденные отсюда токи i₁, i₂,…, i₆ в (2), увидим систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов φ₁, φ₂ и φ₃:

Вычислив из этой системы потенциалы узлов φ₁, φ₂ и φ₃ и подставив их в систему (3), рассчитаем все токи i₁, i₂, …, i₆ с их знаками относительно выбранных на схеме выше.